**Нахождение максимумов и минимумов функции y = x ^ (1/x)**
Функция y = x ^ (1/x) представляет собой функцию, в которой основание x возводится в степень, обратную самому числу x. Для нахождения максимумов и минимумов данной функции необходимо проанализировать ее поведение при изменении значения x.
Шаг 1: Нахождение производной функции
Для нахождения экстремумов функции необходимо найти ее производную. Для функции y = x ^ (1/x) производная будет равна:
y' = (1/x) x ^ (1/x) ln(x) - x ^ (1/x) / x^2
y' = x ^ (1/x) * (ln(x) / x - 1 / x^2)
Шаг 2: Нахождение точек экстремума
Для нахождения точек экстремума необходимо найти значения x, при которых производная равна нулю:
x ^ (1/x) * (ln(x) / x - 1 / x^2) = 0
x ^ (1/x) = 0 или ln(x) / x - 1 / x^2 = 0
x ^ (1/x) = 0 не имеет решений, так как x ^ (1/x) всегда положительно для любого x.
ln(x) / x - 1 / x^2 = 0
ln(x) - x = 0
Шаг 3: Нахождение максимумов и минимумов
Для нахождения максимумов и минимумов функции необходимо проанализировать поведение производной в окрестности найденных точек экстремума.
При x < e (где e - основание натурального логарифма) производная отрицательна, что означает убывание функции. Следовательно, в этой точке функция имеет максимум.
При x > e производная положительна, что означает возрастание функции. Следовательно, в этой точке функция имеет минимум.
Таким образом, функция y = x ^ (1/x) имеет максимум при x < e и минимум при x > e.