Геометрия, 10 класс: решение задачи о параллельности плоскостей и длине отрезка
Дано: прямоугольник ABCD, прямые В1В и D1D1, перпендикулярные к плоскости прямоугольника, ВВ1 = DD1 = 12 см, АВ = 6 см, ВС = 8 см.
а) Докажем параллельность плоскостей АВВ1 и CDD1.
- Пусть точка М - середина отрезка В1D1.
- Так как ВВ1 = DD1, то треугольники ВМВ1 и DМD1 равны по двум сторонам и углу между ними.
- Следовательно, угол ВМВ1 = угол DМD1.
- Так как ВМ и DМ перпендикулярны к плоскости прямоугольника, то углы ВМВ1 и DМD1 прямые.
- Значит, прямые В1В и D1D1 параллельны.
- Следовательно, плоскости АВВ1 и CDD1 параллельны.
б) Найдем длину отрезка B1D1.
- Пусть точка E - точка пересечения отрезка B1D1 с плоскостью ABC.
- Так как ВВ1 = DD1 = 12 см, то отрезок B1D1 - диаметр окружности, описанной около квадрата ВВ1D1E.
- По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ВВ1Е: ВЕ^2 = ВВ1^2 + В1Е^2.
- ВЕ = 6 см (половина стороны квадрата ВВ1D1E).
- Так как ВС = 8 см, то В1С = 4 см.
- Тогда В1Е = В1С - СЕ = 4 - 6 = -2 см.
- По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике В1ЕD1: B1D1^2 = B1E^2 + ED1^2.
- B1D1^2 = (-2)^2 + 12^2 = 4 + 144 = 148.
- B1D1 = √148 ≈ 12.17 см.
Таким образом, длина отрезка B1D1 составляет около 12.17 см.