**Нахождение уравнений медианы, прямой и точки симметричной относительно прямой**
- Уравнение медианы AE и координаты точки K
Для нахождения уравнения медианы AE, нам необходимо найти координаты точки E - середины стороны BC треугольника ABC. Для этого используем формулу нахождения середины отрезка по координатам двух точек:
x_E = (x_B + x_C) / 2 = (0 + 4) / 2 = 2
y_E = (y_B + y_C) / 2 = (-10 + 12) / 2 = 1
Таким образом, координаты точки E равны (2; 1). Теперь можем найти уравнение медианы AE, проходящей через точку A и точку E. Уравнение прямой в общем виде имеет вид y = kx + b, где k - коэффициент наклона, b - свободный член.
Уравнение медианы AE:
k = (y_E - y_A) / (x_E - x_A) = (1 - (-1)) / (2 - (-12)) = 2 / 14 = 1 / 7
b = y_A - k x_A = -1 - (1 / 7) (-12) = -1 + 12 / 7 = 5 / 7
Таким образом, уравнение медианы AE имеет вид y = (1/7)x + 5/7.
Теперь найдем координаты точки K - пересечения медианы AE с высотой CD. Для этого решим систему уравнений медианы и высоты:
y = (1/7)x + 5/7
y = -7x + 16
Решая систему, найдем координаты точки K: x = 7, y = 4. Таким образом, координаты точки K равны (7; 4).
- Уравнение прямой L и координаты точки F
Прямая L проходит через точку K и параллельна стороне AB треугольника ABC. Найдем уравнение прямой, зная что она параллельна AB.
Уравнение стороны AB:
k_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (-10 - (-1)) / (0 - (-12)) = -9 / 12 = -3 / 4
b_AB = y_A - k_AB x_A = -1 - (-3/4) (-12) = -1 - 9 = -10
Таким образом, уравнение стороны AB имеет вид y = (-3/4)x - 10. Прямая L, параллельная стороне AB и проходящая через точку K(7; 4), будет иметь такое же уравнение: y = (-3/4)x - 10.
Теперь найдем координаты точки F, которая симметрична точке A относительно прямой CD. Для этого найдем уравнение прямой CD, перпендикулярной стороне AB:
k_CD = -1 / k_AB = -1 / (-3/4) = 4/3
b_CD = y_C - k_CD x_C = 12 - (4/3) 4 = 12 - 16/3 = 4/3
Уравнение прямой CD имеет вид y = (4/3)x + 4/3. Теперь найдем координаты точки F, используя формулу для нахождения симметричной точки относительно прямой:
x_F = 2 x_CD - x_A = 2 4 - (-12) = 8 + 12 = 20
y_F = 2 y_CD - y_A = 2 (4/3) - (-1) = 8/3 + 1 = 11/3
Таким образом, координаты точки F равны (20; 11/3).
В результате, мы нашли уравнение медианы AE, координаты точки K, уравнение прямой L и координаты точки F, симметричной точке A относительно прямой CD.