Задание по математике. существуют ли такие (не обязательные целые) числа х, у, z, что x + 1/y = 1y + 1/z = 1z + 1/x = 1
Для решения данной задачи можно воспользоваться методом подстановки.
Пусть x = a/b, y = c/d, z = e/f, где a, b, c, d, e, f - целые числа, b, d, f - ненулевые.
Тогда уравнение x + 1/y = 1 примет вид a/b + d/c = 1, откуда ac + bd = b*c.
Уравнение 1y + 1/z = 1 примет вид c/d + f/e = 1, откуда ce + df = d*e.
Уравнение 1z + 1/x = 1 примет вид e/f + b/a = 1, откуда ea + fb = f*a.
Таким образом, мы получили систему уравнений: ac + bd = bc, ce + df = de, ea + fb = f*a.
Рассмотрим первое уравнение: ac + bd = bc. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: ac - bc + bd = 0. Вынесем общий множитель: c(a - b) + bd = 0. Так как c не равно нулю, то получаем: a - b + (bd)/c = 0. Отсюда следует, что a - b = -(bd)/c.
Аналогично рассмотрим второе уравнение: ce + df = de. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: ce - de + df = 0. Вынесем общий множитель: e(c - d) + df = 0. Так как e не равно нулю, то получаем: c - d + (df)/e = 0. Отсюда следует, что c - d = -(df)/e.
Теперь рассмотрим третье уравнение: ea + fb = fa. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: ea - fa + fb = 0. Вынесем общий множитель: a(e - f) + fb = 0. Так как a не равно нулю, то получаем: e - f + (fb)/a = 0. Отсюда следует, что e - f = -(fb)/a.
Таким образом, мы получили систему уравнений: a - b = -(bd)/c, c - d = -(df)/e, e - f = -(f*b)/a.
Рассмотрим первое уравнение: a - b = -(bd)/c. Умножим обе части уравнения на c: ac - bc = -bd. Так как ac + bd = bc, то получаем: bc - bc = -bd. Отсюда следует, что -b*d = 0. Так как b не равно нулю, то получаем, что d = 0. Но это противоречит условию задачи, так как d должно быть ненулевым.
Таким образом, не существует таких (не обязательные целые) чисел x, y, z, что x + 1/y = 1y + 1/z = 1z + 1/x = 1.